карта : гостевая

 
 

Интерактивная демонстрация по решению задач В14 ЕГЭ 2014 несколькими способами

Примеры генернируемых задач и способов их решения

Задание №1
Определите, что будет напечатано в результате работы следующего фрагмента программы:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin F := 9x^2 + 108x + 180;
end;
BEGIN
a:=-11; b:=11;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)>R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(R);
END.

Решение:

1 СПОСОБ - ручная прокрутка программы:

1) Анализируя программу, замечаем, что в программе есть цикл, в котором переменная t принимает последовательно все целые значения в интервале от a до b:
for t:=a to b do begin
...
end;

2) до начала цикла в переменную M записывается значение a, а в переменную R – значение функции в точке a:
M:=a; R:=F(a);

3) внутри цикла есть условный оператор, в котором вычисляется значение функции F(t) и сравнивается со значением переменной R:
if (F(t)>R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
если новое значение функции больше, чем значение R, в R записывается значение функции в точке t, а в переменной M запоминается само значение t (аргумент функции, соответствующий значению в R)

4) в результате анализа пп. 1-3 можно сделать вывод, что цикл ищет максимум функции F(t) на интервале от -11 до 11, и после выполнения цикла в переменной M оказывается значение аргумента t, при котором функция достигает наибольшего значения на заданном интервале (здесь это интервал [-11, 11])

5) функция F вычисляет значение: F := 9x^2 + 108x + 180

6) перебираем все значения t от a до b, и для каждого вычисляем соответствующее значение функции:

t = -11 : F(t) = 81
t = -10 : F(t) = 0
t = -9 : F(t) = -63
t = -8 : F(t) = -108
t = -7 : F(t) = -135
t = -6 : F(t) = -144
t = -5 : F(t) = -135
t = -4 : F(t) = -108
t = -3 : F(t) = -63
t = -2 : F(t) = 0
t = -1 : F(t) = 81
t = 0 : F(t) = 180
t = 1 : F(t) = 297
t = 2 : F(t) = 432
t = 3 : F(t) = 585
t = 4 : F(t) = 756
t = 5 : F(t) = 945
t = 6 : F(t) = 1152
t = 7 : F(t) = 1377
t = 8 : F(t) = 1620
t = 9 : F(t) = 1881
t = 10 : F(t) = 2160
t = 11 : F(t) = 2457

Из прокрутки видно, что наибольшее значение F(t) = 2457 и достигается оно при t = 11

Таким образом правильный ответ: 2457

2 СПОСОБ - математический анализ программы:

1) повторяя рассуждения пп. 1-5 из предыдущего способа решения, убеждаемся, что программа ищет значение t, при котором функция F(t) принимает минимальное значение на интервале от a до b.
2) F := 9x^2 + 108x + 180
3) график этой функции – парабола, оси которой направлены вверх, поэтому функция имеет минимум, но не максимум
4) поэтому нужно проверить значения функции на концах отрезка и выбрать из них наибольшее
5) при t=-11 получаем F(t)=81
6) при t=11 получаем F(t)=2457
7) поскольку работа программы заканчивается командой Write(R), то и в ответе указываем наибольшее значение не абциссы, а функци:
Таким образом правильный ответ: 2457


Задание №2
Определите, что будет напечатано в результате работы следующего фрагмента программы:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin F := 1x^2 + 8x + 15;
end;
BEGIN
a:=-19; b:=19;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)>R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.

Решение:

Анализируя фрагмент программного кода:
for t:=a to b do begin
if (F(t)>R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
делаем вывод, что программа ищет значение t при котором функция F := 1x^2 + 8x + 15 принимает наибольшее значение на отрезке от -19 до 19
но, график этой функции – парабола, ветки которой направлены вверх, поэтому функция не имеет максимума, следовательно нам нужно проверить значения функции на концах отрезка и выбрать t, соответствующее наибольшему значению F(t)
t = -19 : F(t) = 224
t = 19 : F(t) = 528
наибольшее значение F(t) = 528 и достигается оно при t = 19
Таким образом правильный ответ: 19


Задание №3
Определите, что будет напечатано в результате работы следующего фрагмента программы:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin F := 1 * (x - 1 ) * ( x - 9 );
end;
BEGIN
a:=-20; b:=20;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)<R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(R);
END.

Решение:

1 СПОСОБ - ручная прокрутка программы:

1) Анализируя программу, замечаем, что в программе есть цикл, в котором переменная t принимает последовательно все целые значения в интервале от a до b:
for t:=a to b do begin
...
end;

2) до начала цикла в переменную M записывается значение a, а в переменную R – значение функции в точке a:
M:=a; R:=F(a);

3) внутри цикла есть условный оператор, в котором вычисляется значение функции F(t) и сравнивается со значением переменной R:
if (F(t)<R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
если новое значение функции меньше, чем значение R, в R записывается значение функции в точке t, а в переменной M запоминается само значение t (аргумент функции, соответствующий значению в R)

4) в результате анализа пп. 1-3 можно сделать вывод, что цикл ищет минимум функции F(t) на интервале от a до b, и после выполнения цикла в переменной M оказывается значение аргумента t, при котором функция достигает минимума на заданном интервале (здесь это интервал [-20, 20]), а в переменной R сохраняется значение самой функции

5) функция F вычисляет значение F := 1 * (x - 1) * (x - 9);

6) перебираем все значения t от a до b, и для каждого вычисляем соответствующее значение функции:

t = -20 : F(t) = 609
t = -19 : F(t) = 560
t = -18 : F(t) = 513
t = -17 : F(t) = 468
t = -16 : F(t) = 425
t = -15 : F(t) = 384
t = -14 : F(t) = 345
t = -13 : F(t) = 308
t = -12 : F(t) = 273
t = -11 : F(t) = 240
t = -10 : F(t) = 209
t = -9 : F(t) = 180
t = -8 : F(t) = 153
t = -7 : F(t) = 128
t = -6 : F(t) = 105
t = -5 : F(t) = 84
t = -4 : F(t) = 65
t = -3 : F(t) = 48
t = -2 : F(t) = 33
t = -1 : F(t) = 20
t = 0 : F(t) = 9
t = 1 : F(t) = 0
t = 2 : F(t) = -7
t = 3 : F(t) = -12
t = 4 : F(t) = -15
t = 5 : F(t) = -16
t = 6 : F(t) = -15
t = 7 : F(t) = -12
t = 8 : F(t) = -7
t = 9 : F(t) = 0
t = 10 : F(t) = 9
t = 11 : F(t) = 20
t = 12 : F(t) = 33
t = 13 : F(t) = 48
t = 14 : F(t) = 65
t = 15 : F(t) = 84
t = 16 : F(t) = 105
t = 17 : F(t) = 128
t = 18 : F(t) = 153
t = 19 : F(t) = 180
t = 20 : F(t) = 209

Из прокрутки видно, что наименьшее значение функции достигается при t = 5 откуда и находим, что F(t) = -16

Таким образом правильный ответ: -16

2 СПОСОБ - математический анализ программы:

1) повторяя рассуждения пп. 1-5 из предыдущего способа решения, находим, что программа ищет минимальное значение функции F(x) на интервале от a до b.

2) запишем функцию в виде квадратного трёхчлена: F(x) = 1(x - 1)(x - 9) = 1(x^2 - 10x + 9)

3) график этой функции – парабола, оси которой направлены вверх, поэтому функция имеет минимум

4) найдем абсциссу точки минимума, которая совпадает с абсциссой точки минимума функции

F(x) = (x^2 - 10x + 9) => Xmin = -b / 2a = -(-10)/2*1 = 5

5) подставляя найденное значение в заданную функцию, находим соответствующее значение:

F(5) = 1(x - 1)(x - 9) = 1(5 - 1)(5 - 9) = -16

Таким образом правильный ответ: -16

3 СПОСОБ - математический анализ, свойства параболы:

1) повторяя рассуждения пп. 1-5 из первого способа решения, находим, что программа ищет минимальное значение функции F(x) на интервале от a до b.

2) заданная функция F(x) = (x^2 - 10x + 9) имеет корни в точках X1 = 1, X2 = 9

3) график этой функции – парабола, оси которой направлены вверх (коэффициент при X^2 равен 1 > 0), поэтому функция имеет минимум

4) парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину, поэтому абсцисса вершины – это среднее арифметическое корней:

Xmin = (1 + 9)/2 = 5

5) подставляя найденное значение Х в заданную функцию, находим ее значение:

F(5) = 1(x - 1)(x - 9) = 1(5 - 1)(5 - 9) = -16

Таким образом правильный ответ: -16


Задание №4
Определите, что будет напечатано в результате работы следующего фрагмента программы:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin F := 5 * (x - 5 ) * ( x - 7 );
end;
BEGIN
a:=-19; b:=19;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)>R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(R);
END.

Решение:

1 СПОСОБ - ручная прокрутка программы:

1) Анализируя программу, замечаем, что в программе есть цикл, в котором переменная t принимает последовательно все целые значения в интервале от a до b:
for t:=a to b do begin
...
end;

2) до начала цикла в переменную M записывается значение a, а в переменную R – значение функции в точке a:
M:=a; R:=F(a);

3) внутри цикла есть условный оператор, в котором вычисляется значение функции F(t) и сравнивается со значением переменной R:
if (F(t)>R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
если новое значение функции больше, чем значение R, в R записывается значение функции в точке t, а в переменной M запоминается само значение t (аргумент функции, соответствующий значению в R)

4) в результате анализа пп. 1-3 можно сделать вывод, что цикл ищет максимум функции F(t) на интервале от -19 до 19, и после выполнения цикла в переменной M оказывается значение аргумента t, при котором функция достигает наибольшего значения на заданном интервале (здесь это интервал [-19, 19])

5) функция F вычисляет значение: F := 5 * (x - 5 ) * ( x - 7 )

6) перебираем все значения t от a до b, и для каждого вычисляем соответствующее значение функции:

t = -19 : F(t) = 3120
t = -18 : F(t) = 2875
t = -17 : F(t) = 2640
t = -16 : F(t) = 2415
t = -15 : F(t) = 2200
t = -14 : F(t) = 1995
t = -13 : F(t) = 1800
t = -12 : F(t) = 1615
t = -11 : F(t) = 1440
t = -10 : F(t) = 1275
t = -9 : F(t) = 1120
t = -8 : F(t) = 975
t = -7 : F(t) = 840
t = -6 : F(t) = 715
t = -5 : F(t) = 600
t = -4 : F(t) = 495
t = -3 : F(t) = 400
t = -2 : F(t) = 315
t = -1 : F(t) = 240
t = 0 : F(t) = 175
t = 1 : F(t) = 120
t = 2 : F(t) = 75
t = 3 : F(t) = 40
t = 4 : F(t) = 15
t = 5 : F(t) = 0
t = 6 : F(t) = -5
t = 7 : F(t) = 0
t = 8 : F(t) = 15
t = 9 : F(t) = 40
t = 10 : F(t) = 75
t = 11 : F(t) = 120
t = 12 : F(t) = 175
t = 13 : F(t) = 240
t = 14 : F(t) = 315
t = 15 : F(t) = 400
t = 16 : F(t) = 495
t = 17 : F(t) = 600
t = 18 : F(t) = 715
t = 19 : F(t) = 840

Из прокрутки видно, что наибольшее значение F(t) = 3120 достигается при t = -19

Таким образом правильный ответ: 3120

2 СПОСОБ - математический анализ программы:

повторяя рассуждения пп. 1-5 из предыдущего способа решения, убеждаемся, что программа ищет значение t, при котором функция F(t) принимает наибольшее значение на интервале от a до b.
запишем функцию в виде квадратного трёхчлена: F(x) = 5(x + 5)(x + 7) = 5(x^2 + 12x + 35)
график этой функции – парабола, оси которой направлены вверх, поэтому функция имеет минимум, но не максимум
поэтому нужно проверить значения функции на концах отрезка и выбрать из них наибольшее
при t = -19 получаем F(t) = 3120
при t = 19 получаем F(t) = 840
поскольку работа программы заканчивается командой Write(R), то и в ответе указываем наибольшее значение не абциссы, а функци:
Таким образом правильный ответ: 3120


Задание №5
Определите, что будет напечатано в результате работы следующего фрагмента программы:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin F := -4 * (x - 1 ) * ( x - 5 );
end;
BEGIN
a:=-31; b:=31;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)>R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.

Решение:

Анализируя фрагмент программного кода:
for t:=a to b do begin
if (F(t)>R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
делаем вывод, что программа ищет значение t при котором функция F := -4 * (x - 1 ) * ( x - 5 ) принимает наибольшее значение на отрезке от -31 до 31
но, график этой функции – парабола, ветки которой направлены вниз, следовательно функция имеет максимум, найти который можно:
1 способ - прокруткой
t = -31 : F(t) = -4608
t = -30 : F(t) = -4340
t = -29 : F(t) = -4080
t = -28 : F(t) = -3828
t = -27 : F(t) = -3584
t = -26 : F(t) = -3348
t = -25 : F(t) = -3120
t = -24 : F(t) = -2900
t = -23 : F(t) = -2688
t = -22 : F(t) = -2484
t = -21 : F(t) = -2288
t = -20 : F(t) = -2100
t = -19 : F(t) = -1920
t = -18 : F(t) = -1748
t = -17 : F(t) = -1584
t = -16 : F(t) = -1428
t = -15 : F(t) = -1280
t = -14 : F(t) = -1140
t = -13 : F(t) = -1008
t = -12 : F(t) = -884
t = -11 : F(t) = -768
t = -10 : F(t) = -660
t = -9 : F(t) = -560
t = -8 : F(t) = -468
t = -7 : F(t) = -384
t = -6 : F(t) = -308
t = -5 : F(t) = -240
t = -4 : F(t) = -180
t = -3 : F(t) = -128
t = -2 : F(t) = -84
t = -1 : F(t) = -48
t = 0 : F(t) = -20
t = 1 : F(t) = 0
t = 2 : F(t) = 12
t = 3 : F(t) = 16
t = 4 : F(t) = 12
t = 5 : F(t) = 0
t = 6 : F(t) = -20
t = 7 : F(t) = -48
t = 8 : F(t) = -84
t = 9 : F(t) = -128
t = 10 : F(t) = -180
t = 11 : F(t) = -240
t = 12 : F(t) = -308
t = 13 : F(t) = -384
t = 14 : F(t) = -468
t = 15 : F(t) = -560
t = 16 : F(t) = -660
t = 17 : F(t) = -768
t = 18 : F(t) = -884
t = 19 : F(t) = -1008
t = 20 : F(t) = -1140
t = 21 : F(t) = -1280
t = 22 : F(t) = -1428
t = 23 : F(t) = -1584
t = 24 : F(t) = -1748
t = 25 : F(t) = -1920
t = 26 : F(t) = -2100
t = 27 : F(t) = -2288
t = 28 : F(t) = -2484
t = 29 : F(t) = -2688
t = 30 : F(t) = -2900
t = 31 : F(t) = -3120
наибольшее значение F(t) = 16 и достигается оно при t = 3
Таким образом правильный ответ: 3

2 СПОСОБ - математический анализ программы:

запишем функцию в виде квадратного трёхчлена: F(x) = -4(x - 1)(x - 5) = -4x^2 + 24x - 20
график этой функции – парабола, оси которой направлены вниз, поэтому функция имеет максимум
найдем абсциссу точки максимума, которая совпадает с абсциссой точки максимума функции
F(x) = -4x^2 + 24x - 20 => Xmax = -b / 2a = -24/(2*-4) = 3
Таким образом правильный ответ: 3

 

 

 
  © Александр Козлов, 2014
671717 г.Северобайкальск
 
Рейтинг@Mail.ru